Question

Сумма S существует и конечна. Найдите ее.

Answer 1

Домножим сумму на 16 и вычтем из неё исходную сумму:

$16S=4-3+dfrac54-dfrac7{4^2}+dots+(-1)^{n+1}dfrac{2n-1}{4^{n-2}}+dots\ 16S-S=4-3+dfrac{5-1}4-dfrac{7-3}{4^2}+dots+(-1)^{n+1}dfrac{(2n-1)-(2n-5)}{4^n}+dots$

Каждый числитель теперь не зависит от n и равен 4. На эту четверку можно сократить и получится сумма геометрической прогрессии:

$15S=1+left(1-dfrac14+dfrac1{4^2}-dfrac1{4^3}+dotsright)=1+dfrac1{1+frac14}=1+dfrac45=dfrac95$

$S=dfrac95:15=dfrac3{25}$