Question

Решить корни найти там просто найдите я сам просуммирую

Answer 1

$tgfrac{14pi}{3} +sin 4x=sqrt{3} cos 4x\ tg(5pi -frac{pi}{3})+sin 4x-sqrt{3} cos 4x=0 \ -sqrt{3} +sin 4x-sqrt{3} cos 4x=0\ sin4x-sqrt{3} cos4x=sqrt{3}$

Согласно формуле дополнительного угла, а именно:

$a sin xpm bcos x=sqrt{a^2+b^2}sin(xpmarcsinfrac{b}{sqrt{a^2+b^2}})$ имеем

$sqrt{1^2+(sqrt{3} )^2}sin(4x-arcsinfrac{sqrt{3} }{sqrt{1^2+(sqrt{3} )^2}} ) =sqrt{3} \ \ sin(4x-frac{pi}{3})=frac{sqrt{3} }{2} \ 4x-frac{pi}{3}=(-1)^kcdotfrac{pi}{3}+pi k,k in mathbb{Z}\ x=(-1)^kcdot frac{pi}{12}+frac{pi}{12}+frac{pi k}{4},k in mathbb{Z}$

Найдем теперь корни принадлежащие $(-frac{pi}{4};pi )$

$k=0;~ x= frac{pi}{12}+frac{pi}{12}=frac{pi}{6} \ k=1;~ x=- frac{pi}{12}+frac{pi}{12}+frac{pi }{4}=frac{pi}{4}\ k=2;~ x=frac{pi}{12}+frac{pi}{12}+frac{pi}{2} =frac{pi}{6}+frac{pi}{2}=frac{4pi}{6} =frac{2pi}{3}$

$k=3;~ x=- frac{pi}{12}+frac{pi}{12}+ frac{3 pi }{4} = frac{3 pi }{4}$

Answer 2

tg(14п/3)+sin(4x)=√3cos(4x)

sin(4x)-√3=√3cos(4x)

sin(4x)-√3cos(4x)=√3

Сгруппируем уравнение:

2((1/2)sin(4x)-(√3/2)cos(4x))=√3

2(cos(п/3)sin(4x)-sin(п/3)cos(4x))=√3

Используем формулу:

sin(t)cos(s)-cos(t)sin(s)=sin(t-s)

2sin(4x-п/3)=√3

sin(4x-п/3)=√3/2

тогда

4x-п/3=п/3+2пk, x=п/6+пk/2, k∈Z

4x-п/3=2п/3+2пk, x=п/4+пk/2, k∈Z

Решения нашли.

Теперь отбираем корни на (-п/4;п).

Отберем корни с помощью неравенства:

-п/4<п/6+пk/2<п

-п/4-п/6<пk/2<п-п/6

-5п/12<пk/2<5п/6

-5<6k<10 => k=1

Тогда x=п/6+п/2=2п/3

x=п/4+п/2=3п/4

-п/4<п/4+пk/2<п

-п/4-п/4<пk/2<п-п/4

-п/2<пk/2<3п/4

-2<2k<3 => k=0, k=1

Тогда x=п/6, x=п/4

И то же самое, что получили прежде.

Ответ: промежутку (-п/4;п) принадлежать корни п/6, п/4, 2п/3, 3п/4.