Question

Помогите оладушки. Найти три целых положительных числа, которые образовывают геометрическую прогрессию, такие, что если второе число увеличить на 8, то образуется арифметическая прогрессия, а если после этого увеличить третье число на 64, то снова образуется геометрическая прогрессия.

Answer 1

Я хоть и не оладушек, но помогу.

Пусть x; y; z - данные целые положительные числа.

Т.к. они образуют геом. прогрессию, то верно равенство y²=xz.

После увеличения второго числа у на 8 получим ряд х; у+8; z, который образует арифм. прогрессию. Для такой прогрессии верно равенство 2(у+8)=x+z.

Наконец, после увеличения третьего числа z на 64 получим ряд х; у+8; z+64, который образует геом. прогрессию. Для такой прогрессии верно равенство (y+8)²=x(z+64).

Таким образом, получена система уравнений:

$begin {cases} y^2=xz \ 2(y+8)=x+z \ (y+8)^2=x(z+64) end {cases} Leftrightarrow begin {cases} y^2=xz \ 2y+16=x+z \ (y+8)^2=xz+64x end {cases} Leftrightarrow \ Leftrightarrow begin {cases} y^2=xz \ 2y+16=x+z \ y^2+16y+64=y^2+64x end {cases} Leftrightarrow begin {cases} y^2=xz \ 2y+16=x+z \ 16y+64=64x end {cases} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow begin {cases} y^2=xz \ 2y+16=x+z \ y+4=4x end {cases} Leftrightarrow begin {cases} y^2=xz \ y=4x-4 \ z=2y+16-x=8x-8+16-x =7x+8 end {cases}\ Leftrightarrow begin {cases} (4x-4)^2=x(7x+8) \ y=4x-4 \ z=7x+8 end {cases} Leftrightarrow begin {cases} 16x^2-32x+16=7x^2+8x \ y=4x-4 \ z=7x+8 end {cases} Rightarrow$

$Leftrightarrow begin {cases} 9x^2-40x+16=0 \ y=4x-4 \ z=7x+8 end {cases} Rightarrow begin {cases} x_1=frac{4}{9}; x_2=4 \ y=4x-4 \ z=7x+8 end {cases}$

$x=frac{4}{9} notin Z Rightarrow x=4 Rightarrow begin {cases} x=4 \ y=12 \ z=36 end {cases}$

Значит, 4, 12 и 36 - искомые целые положительные числа, которые образуют геом. прогрессию.

Ответ: 4; 12; 36.

Answer 2

Спасибо большое ^-^

Answer 3

Та на здоровье! )))