Question

найти sin x - cos x, если sin x + cos x = 1/2

Answer 1

$sin x+cos x=frac{1}{2}Rightarrow (sin x+cos x)^2=frac{1}{4}; sin^2 x+cos^2 x+2sin xcos x=frac{1}{4};$

$1+sin 2x=frac{1}{4}; sin 2x=-frac{3}{4};$

$(sin x-cos x)^2=sin^2 x+cos^2 x-2sin xcos x=1-sin 2x=1+frac{3}{4}= frac{7}{4}; sin x-cos x=pmfrac{sqrt{7}}{2}$

Осталось доказать, что реализуются оба случая. Ясно, что x не может лежать в первой четверти, поскольку там синус и косинус положительны, поэтому сумма синуса и косинуса больше суммы квадратов синуса и косинуса, которая равна 1. Ясно что x не может лежать в третьей четверти, поскольку там синус и косинус отрицательны - поэтому их сумма будет отрицательной. Во второй четверти x может лежать. В самом деле, если x равен 90 градусов, то сумма синуса и косинуса равна 1, а если x равен 180 градусов, то сумма синуса и косинуса равна минус 1. Значит, есть промежуточная точка, где сумма синуса и косинуса равна 1/2. Разность же их будет положительна, так как там синус положителен, а косинус отрицателен. Аналогичное рассуждение показывает, что и в четвертой четверти найдется x такой, что сумма синуса и косинуса равна 1/2. Разность же их будет отрицательна, так как в этой четверти синус отрицательный, а косинус положительный.

Ответ: $pmfrac{sqrt{7}}{2}$