Question

Вероятность получения с конвейера изделия первого сорта равна 0,9. Определите вероятность того, что из взятых на проверку 600 изделий будут от 500 до 550 первого сорта. Определите наивероятнейшее число и вероятность наивероятнейшего числа изделий первого сорта.

Answer 1

Число $k$ является наивероятнейшим, если выполняется следующее неравенство

$np-q leq k leq np+p\ \ 600cdot 0.9-0.1 leq k leq 600cdot 0.9+0.9\ \ 539.9 leq k leq 540.9$

Число $k$ может принимать или единственное значение или два наивероятнейших значения, т.е. в нашем случае будет единственное значение $k=540$

Тогда вероятность наивероятнейшего числа изделий первого сорта по локальной теореме Муавра-Лапласа, равна

$P_{600}(540)= dfrac{1}{ sqrt{600cdot 0.9cdot 0.1} } cdot phibigg( dfrac{540-600cdot 0.9}{ sqrt{600cdot 0.9cdot 0.1} } bigg)= dfrac{phi(0)}{3 sqrt{6} } = dfrac{0.399}{3 sqrt{6} } approx0.054$

Определим вероятность того, что из взятых на проверку 600 изделий будут от 500 до 550 первого сорта.

$P_{600}(500 leq k leq 550)approxphidisplaystyle bigg( frac{550-600cdot 0.9}{ sqrt{600cdot 0.9cdot 0.1} } bigg)-phi bigg( frac{500-600cdot 0.9}{ sqrt{600cdot 0.9cdot 0.1} } bigg)=\ \ = phi(1.36)-phi(5.44)=0.415+0.4999=0.9147$