Question

найдите $ctgx$ , если $2sin3xcos5x= frac{1}{2}+sin8x$

Answer 1

$2 sin(3x) cos(5x) = frac{1}{2} + sin(8x)$

Воспользуемся формулой:

$sin( alpha ) times cos( beta ) = frac{1}{2} ( sin( alpha - beta ) + sin( alpha + beta )$

$2 times frac{1}{2} ( sin(8x) - sin(2x) ) = frac{1}{2} + sin(8x) \ \ sin(8x) - sin(2x) = frac{1}{2} + sin(8x) \ \ sin(2x) = - frac{1}{2}$


Прибавим к обеим частям + 1 :

$1 + sin(2x) = frac{1}{2} \ \ { (sin(x)) }^{2} + { (cos(x)) }^{2} + 2 sin(x) cos(x) = frac{1}{2}$

Разделим обе части на sin²x : sinx ≠ 0

${(ctgx)}^{2} + 1 + 2ctgx = frac{1}{2 {( sin(x) )}^{2} }$


Воспользуемся формулой :

${(ctgx)}^{2} + 1 = frac{1}{ {( sin(x)) }^{2} }$

Разделим обе части на 2 :

$frac{ {(ctgx)}^{2} + 1}{2} = frac{1}{2 {( sin(x)) }^{2} }$

${(ctgx)}^{2} + 2ctgx + 1 = frac{ {(ctgx)}^{2} + 1 }{2} \ \ {(ctgx)}^{2} + 4ctgx + 1 = 0$

Введем замену:

Пусть ctgx = t

${t}^{2} + 4t + 1 = 0 \ \ t = - 2 - sqrt{3} \ t = - 2 + sqrt{3}$


$ctgx = - 2 + - sqrt{3}$



ОТВЕТ: - 2 - √3 ; - 2 + √3

Answer 2

sin2x = - 1/2 ; 2sinxcosx = -1/2 ; sinxcosx= - 1/4 ; разделим на sinx ≠ 0 ; ctgx = - 1/ 4 sin²x . Дальше по подобной схеме.

Answer 3

sin²x ≠ 0***

Answer 4

$2sin3xcos5x= frac{1}{2}+sin8x \ 2sin3xcos5x= frac{1}{2}+sin3xcos5x+sin5xcos3x\sin5xcos3x-sin3xcos5x=-frac{1}{2}\sin2x=frac{1}{2}\2sinxcosx=-frac{1}{2}|:2sin^2x\ctgx=-frac{1}{4sin^2x}\-4ctgx=1+ctg^2x\ctg^2x+4ctgx+1=0\ctgx=-2^+_-sqrt{3}$
$sin(a+b)=sinacosb+cosasinb\sin(a-b)=sinacosb-cosasinb\1+ctg^2x=frac{1}{sin^2x}$