Question

При каких значениях k все решения системы удовлетворяют условиям x > 1, y < 0
$begin{cases} x-ky=3,\ kx-9y=9. end{cases}$

Answer 1

Из первого уравнения выразим переменную х: $x=3+ky$ и подставляем во второе уравнение, получим:

$k(3+ky)-9y=9\ 3k+k^2y-9y=9\ y(k-3)(k+3)+3(k-3)=0\ (k-3)(y(k+3)+3)=0$

$k=3$ - если подставить в систему уравнений то ее пара решений - (3;0), что видим 0 < 0 не может быть.

$y(k+3)+3=0\ y=-dfrac{3}{k+3} <0~~~Rightarrow~~ k>-3$

Найденное у подставим в х, получим:

$x=3-dfrac{3k}{k+3} =dfrac{3k+9-3k}{k+3} =dfrac{9}{k+3} >1\ \ dfrac{9}{k+3} -1>0~~~Rightarrow~~~ dfrac{6-k}{k+3}>0 \ dfrac{6-k}{k+3}=0;~~Rightarrow~~~ 6-k=0;~~Rightarrow~~~ k=6$

____-___(-3)____+____(6)____-____ - решение: -3 < k < 6

Пересечением этих двух неравенств является решение -3 < k < 6 и с учетом того, что при k=3 условие не выполняется, то при $k in (-3;3)cup(3;6)$ решения системы уравнений удовлетворяют условиям x>1 и y<0.

Ответ: x ∈ (-3;3)∪(3;6).