Основанием 4-угольной пирамиды SABCD является прямоугольник
ABCD со сторонами AB = 2 и AD = 3. Высота пирамиды длиной
12/√23 падает в точку пересечения диагоналей прямоугольника ABCD.
Плоскость проходит через точку A, параллельна прямой BD, касается
шара радиуса 1 с центром в точке S и пересекает ребро SC. В каком
отношении она делит это ребро?
Ответы
Проведём осевое сечение через боковые рёбра SA и SC.
Половина диагонали АО = √(2² + 3²)/2 = √13/2.
Угол А = arc tg(H/AO) = (12/√23)/(√13/2) = 24/√299 ≈ 1,387955837 .
Этому тангенсу соответствует угол А = 0,946454578 радиан или 54,2278528°.
Угол при вершине равен 180 - 2∠А = 71,5442944°.
Найдём длину бокового ребра L.
L = √(H² + (√13/2)²) = √((144/23)+(13/4)) = √(875/92) = 5√35/(2√23).
Заданная плоскость рассечена секущей плоскостью по прямой АМ, где М - точка пересечения ребра SC.
Опустим перпендикуляр из точки S на отрезок АМ в точку К.
В прямоугольном треугольнике ASK определим угол ASK.
∠ASK = arc sin(1/L) = arc sin(2√23)/(5√35) ≈ 71,07940953°.
Как видим, угол между ребром SC и перпендикуляром к касательной к окружности R = 1 равен 0,464884873 градуса.
Расстояние между точками К и М равно 0,00811395 .
Поэтому с допустимой точностью можно принять, что окружность отсекает от ребра отрезок SM = 1.
Ответ: ребро SC делится заданной секущей плоскостью
в отношении 1 : 2,08.
.
