Question

Помогите доказать тождество

Answer 1

Разделим первое равенство последовательно на (b - c), (c - a) и (a - b) и сложим результаты:

$0=boxed{dfrac a{(b-c)^2}+dfrac b{(c-a)^2}+dfrac c{(a-b)^2}}+dfrac a{b-c}left(dfrac1{c-a}+dfrac1{a-b}right)+\+dfrac b{c-a}left(dfrac1{b-c}+dfrac1{a-b}right)+dfrac c{a-b}left(dfrac1{b-c}+dfrac1{c-a}right)$

Упростим то, что стоит вне рамки:

$dfrac a{b-c}left(dfrac1{c-a}+dfrac1{a-b}right)+dfrac b{c-a}left(dfrac1{b-c}+dfrac1{a-b}right)+dfrac c{a-b}left(dfrac1{b-c}+right.\left.+dfrac1{c-a}right)=-dfrac a{(c-a)(a-b)}-dfrac b{(b-c)(a-b)}-dfrac c{(b-c)(c-a)}=\=-dfrac{a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0$

Значит,

$0=dfrac a{(b-c)^2}+dfrac b{(c-a)^2}+dfrac c{(a-b)^2}+0\ dfrac a{(b-c)^2}+dfrac b{(c-a)^2}+dfrac c{(a-b)^2}=0$