Question

С какой наименьшей начальной скоростью нужно бросить камень, чтобы попасть в цель, расположенную на высоте 15 м и на расстоянии 20 м по горизонтали от точки бросания?
Значение g принять равным 10 м/с2

Answer 1

Задача на бросок под углом к горизонту. Уравнения движения камня:

$x = V_0tcosalpha\ y = V_0tsinalpha - frac{gt^{2}}{2}$

По условию, траектория камня проходит через точку с координатами $x$ = 20 и $y$ = 15.

Имеем систему:

$left { {{V_0tcosalpha=20} atop {V_0tsinalpha-frac{gt^2}{2}=15}} right.$

Из первого уравнения выразим время $t$ и подставим во второе уравнение:

$left { {{t = frac{20}{V_0cosalpha}} atop {frac{20V_0sinalpha}{V_0cosalpha}}-frac{20^2g}{2V_0^2cos^2alpha} = 15} right.$

Преобразуем второе уравнение:

$left { {{t = frac{20}{V_0cosalpha}} atop 20tgalpha-frac{200g}{V_0^2cos^2alpha} = 15}$

Из второго уравнения несложно выразить $V_0^2$:

$V_0^2 = frac{200g}{(20tgalpha-15)cos^2alpha} = frac{200g}{20tgalpha*cos^2alpha-15cos^2alpha}$ (&)

Для того, чтобы $V_0^2$ было наименьшим, необходимо, чтобы знаменатель дроби в правой части принимал как можно большее значение, так как величина числителя фиксирована.

Заметим, что $tgalpha *cos^2alpha = sinalpha *cosalpha = frac{1}{2} sin2alpha$, а также $cos^2alpha = frac{1+cos2alpha}{2}$ (формулы двойного угла).

Тогда

$20tgalpha*cos^2alpha-15cos^2alpha = 10sin2alpha - 15(frac{1+cos2alpha}{2} ) = 10sin2alpha - 7,5cos2alpha - 7,5 = sqrt{10^2+7,5^2} sin(2alpha +phi) - 7,5$

(в последнем переходе воспользовались формулой вспомогательного аргумента).

Понятно, что максимальное значение $sin(2alpha +phi)$ это 1. Тогда максимальное значение выражения $sqrt{10^2+7,5^2} sin(2alpha +phi) - 7,5$ есть $sqrt{10^2+7,5^2} - 7,5 = 5$.

Возвращаясь к выражению (&), имеем:

$V_{0,min}^2 = frac{200g}{5} = frac{200*10}{5} = 400$, отсюда $V_{0,min} = 20$ м/с.