Question

Решить неравенство log x-2|x-6|<1

Answer 1

$log_{x-2}|x-6|-1<0$

Используем метод рационализации

$begin {cases} |x-6|>0\ x-2>0, x-2neq 1 \ ((x-2)-1)(|x-6|-x-2)<0 end {cases} Leftrightarrow begin {cases} x>2, x neq 3, x neq 6 \ (x-3)(|x-6|-x-2)<0 end {cases}$

Раскроем скобки модуля - получим 2 случая

$1) begin {cases} x<6\ x>2, x neq 3, x neq 6 \ (x-3)(-x+6-x-2)<0 end {cases} Leftrightarrow begin {cases} 2<x<6\ x neq 3 \ (x-3)(x-2)>0 end {cases} \ Rightarrow begin {cases} x in (2;3) cup (3;6) \ x in (-infty;2) cup (3;+infty) end {cases} Rightarrow boxed {x in (3;6)}$

$2) begin {cases} xgeq6\ x>2, x neq 3, x neq 6 \ (x-3)(x-6-x-2)<0 end {cases} Rightarrow begin {cases} x>6 \ -8(x-3)<0 end {cases} \ Leftrightarrow begin {cases} x>6 \ x -3>0 end {cases} Rightarrow x>6 Rightarrow boxed {x in (6; +infty)}$

Ответ: (3; 6)∪(6; +∞)