Question

Помогите решить систему неравенств


$left { {{3x^{2}+2xy+3leq0} atop {y^{2}+6y+18xleq0}} right.$

Answer 1

Умножим первое неравенство на 3 и сложим со вторым:

$3(3x^2+2xy+3)+(y^2+6y+18x)leqslant0\(9x^2+6xy+y^2)+(6y+18x)+9leqslant0\(3x+y)^2+2cdot 3cdot(3x+y)+3^2leqslant 0\(3x+y+3)^2leqslant 0\3x+y+3=0\y=-3(x+1)$

Подставляем найденное значение y в систему:

$begin{cases}3x^2-6x(x+1)+3leqslant 0\9(x+1)^2-18leqslant 0end{cases}\begin{cases}-3x^2-6x+3leqslant 0\(x+1)^2leqslant 2end{cases}\begin{cases}(x+1)^2geqslant 2\(x+1)^2leqslant 2end{cases}\(x+1)^2=2\x=-1pmsqrt2$

Подставляем найденные значения x в выражение для y и получаем ответ.

Ответ. $(x, y)=(-1pmsqrt2,mp3sqrt2)$