Question

Найдите все значения а при которых комплексное число Z является корнем уравнения

Answer 1

$z = frac{ sqrt{3} + 1}{2} + ifrac{ sqrt{3} - 1}{2} \ \ {z}^{2} = frac{3 + 2 sqrt{3} + 1 }{4} + 2 times frac{3 - 1}{4} i - frac{3 - 2 sqrt{3} + 1 }{4} = sqrt{3} + i$
${z}^{2} = sqrt{3} + i = 2 ( cosfrac{pi}{6} + i sin frac{pi}{6} )$
${z}^{6} = ( {z}^{2} ) ^{3} = {2}^{3} ( cos(3 times frac{pi}{6} ) + i sin(3 times frac{pi}{6} ) ) = 8(cos frac{pi}{2} + isin frac{pi}{2} ) = 8i$
$z ^{12} = ({z}^{2} ) ^{6} = 2 ^{6} (cospi + isinpi) = - 64$
${z}^{12} + a {z}^{6} + 48 = 0 \ - 64 + a times 8i + 48 = 0 \ a times 8i = 16 \ a = frac{16}{8i} = frac{2}{i} = - 2i$

Ответ: -2i