Question

В трапеции ABSD (AD параллельно BC) диагонали AC и BD перпендикулярны друг другу, AC=5 и BD=13. Найти расстояние между серединами оснований

Answer 1

1) Осуществим дополнительное построение:

Проведём отрезок СЕ параллельно диагонали ВD => AC перпендикулярен СЕ

Проведём отрезок СК параллельно отрезку МN

Из этого следует, что четырёхугольник ВСЕD - параллелограмм ( СЕ || ВD , BC || DE ).
Aналогично, четырёхугольник МСКN - параллелограмм ( CK || MN, МС || KN )

Поэтому, BC = DE , MC = NK, BD = CE = 13

AE = AD + DE = AD + BC

AK = AN + NK = 1/2 × AD + 1/2 × BC = 1/2 × ( ВС + AD )

Значит, K - середина отрезка АЕ , АК = КЕ

Поэтому, МN = CK - медиана в ∆ АСЕ

2) Рассмотрим ∆ АСЕ ( угол АСЕ = 90° ):

" В прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы "

По теореме Пифагора:

AE² = 13² + 5² = 169 + 25 = 194

AE = √194

Значит, искомый отрезок MN, равный отрезку СК, имеет длину:

СК = MN = 1/2 × AE = 1/2 × √194 = √194 / 2


ОТВЕТ: √194/2