Найти периметр ортотреугольника A1B1C1, для равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC=3, AC=2
Ответы
Ортотреугольник - это треугольник, вписанный в исходный, вершинами которого являются основания высот исходного.
--- 1 ---
Площадь исходного треугольника через основание и высоту к нему
S = 1/2*АС*ВД = 1/2*2*ВД = ВД
ВД по т. Пифагора из ΔАВД
ВД² = АВ² - АД² = 3² - 1² = 9 - 1 = 8
ВД = √8 = 2√2
S = 2√2
--- 2 ---
Площадь через высоту к боковой стороне
S = 1/2*АВ*ЕС = 1/2*3*ЕС = 2√2
ЕС = 4√2/3
--- 3 ---
в прямоугольном ΔАЕС
Д - середина гипотенузы, значит
АД = ДС = ЕД = 1 (радиус описанной окружности)
--- 4 ---
в ΔАЕС катет АЕ по т. Пифагора
АЕ² = АС² - ЕС² = 2² - (4√2/3)² = 4 - 16*2/9 = 4 - 32/9 = 36/9 - 32/9 = 4/9
АЕ = 2/3
--- 5 ---
ΔАЕШ ~ ΔАЕС, поскольку угол А общий, второй угол прямой, из подобия
АШ/АЕ = АЕ/АС
АШ = АЕ²/АС = 4/9/2 = 2/9
--- 6 ---
ЕФ = АС - АШ - ЩС = АС - 2*АШ = 2 - 2*2/9 = 2 - 4/9 = 18/9 - 4/9 = 14/9
--- 7 ---
Периметр отртотреугольника
P = ЕД + ДФ + ЕФ = 1 + 1 + 14/9 = 18/9 + 14/9 = 32/9
В пункте 2 по известной площади ищется высота к боковой стороне
В ЗФТШ учился.