Question

В ромбе ABCD AB=5, BD=2√5 на сторонах ab и cd отмечены точки m и к соответственно так, что AM/MB = CK/KD = 1,5. Докажите, что MBKD - прямоугольник и найдите его периметр и площадь.

Answer 1

Пусть в нашем ромбе ABCD произвольно расставлены точки M на стороне AB и K на стороне AD. Зная, что AM/MB = CK/KD = 1,5 и что AM+MB = 5 = DK+KC, найдем данные отрезки:

Выразим AM и СK через икс, а MB и KD через игрек, тогда у нас получиться система из двух уравнений:

$left { {{x/y=1,5} atop {x+y=5}} right. => left { {{x=1,5y} atop {y+1,5y=5}} right. => left { {{x=1,5y} atop {2,5y=5}} right. => left { {{y=2} atop {x=3}} right.$

Получается, что AM=CK=3 и MB=KD=2. При том что MD и RB являются высотами данного ромба и делят ромб на два прямоугольных треугольника и прямоугольник (решается и доказывается по теореме Пифагора). Следовательно, MD=MB=√21 и обозначим их как сторону "a" у нашего прямоугольника, а MB=DK=3 соответственно. Найдем периметр и площадь нашего прямоугольника:

P = 2(3+√21) ≈ 15,2

S = 3*√21