Прямоугольный треугольник с острым углом 60градусов. Вписан Ромб со сторонами 6 и имеет общий угол с треугольником 60 градусов. Найдите площадь треугольника .
Ответы
Пусть ABC - прямоугольный треугольник (∠BAC=90°) и ∠ABC=60°. В треугольник, по условию, вписан ромб BKPM (K∈AB, P∈AC, M∈BC) так, что BK = 6. Вычислим площадь треугольника.
Рассмотрим треугольник MCP. Очевидно, что ∠MPC = ∠BAC = 90° как соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых BA и MP (BA || MP как противолежащие стороны ромба) секущей AC. Используя определение тангенса, получаем, что PC = 6√3.
Рассмотрим треугольник KAP. Очевидно, что ∠KPA = ∠MCP = 30° как соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых MC и KP секущей AC. Используя определение косинуса угла, получаем: AP = 3√3.
AC = AP + PC = 3√3 + 6√3 = 9√3.
Рассмотрим треугольник ABC. Используя определение тангенса угла, получаем: AB = 9.
S = 1/2 *AC*AB = 81√3/2.
Ответ: 81√3/2.
Расчеты прикреплены.
