Question

Известно, что 0<а<п/2. Докажите неравенство:

Answer 1

При α ∈ (0; π/2) 0 < sinα < 1, 0 < cosα < 1.

а, б) Очевидно, что положительное число, меньшее единицы, всегда больше своего квадрата. Следовательно, sinα > sin^2α и cosα > cos^2α.

Доказано.

в) Так как sinα > 0 в рассматриваемой области, то мы имеем право сократить на sinα:

sinα > sinα * cosα;

1 > cosα - верное числовое неравенство для α ∈ (0; π/2). Доказано.

г) tgα = sinα/cosα. Так как sinα > 0 для α ∈ (0; π/2), можно сократить на sinα:

sinα < tgα;

sinα < sinα/cosα;

1 < 1/cosα. Так как cosα > 0 на указанном промежутке, то последнее выражение равносильно следующему:

cosα < 1 - верное числовое неравенство для α ∈ (0; π/2). Доказано.