Ответы
смотрим ОДЗ - область допустимых значений
по определению логарифма
|4x|>0 x≠0
4x>0 x>0 4x≠1 x≠1/4
x∈(0 1/4) U (1/4 +∞)
Теперь смотрим дробь справа 2/(sin(x+y)^2 - 2sin(x+y) + 2) = 2/(sin(x+y)^2 - 2sin(x+y) + 1+1) = 2/[(sin(x+y)-1)^2 + 1]
оценим дробь справа там вверху положительное число и в знаменателе квадрат плюс положительное число - то есть справа положительное число. вспомним что -1 <= sin x <= 1 таким образом справа дробь изменяется от 2/5 до 2.
Раз справа стоит положительное число, то и слева должно быть положительное число то есть x>1/4. Если x<1/4 то log(5) |4x| и log(4x) 5 меньше 0. Значит x>1/4 и логарифмы слева положительные и можем применить свойтво о среднем арифметическом и геометрическом √ab <= (a+b)/2
по свойству логарифма log(a) b = 1/ log(b) a
применяем и модуль можем опустить в логарифме log(5) 4x = 1/log(4x) 5
1/log(5) 4x + log(5) 4x >= 2*√(log(5) 4x * 1/log(5) 4x) = 2
то есть выражение слева >=2
а выражение справа <=2 значит они равны только в одном случае когда левая и правая часть = 2
log(4x) 5 + log(5) 4x = 2
log²(5) 4x - 2 log(5) 4x + 1 =0
log(5) 4x = 1
4x=5
x=5/4
смотрим правую часть
2/[(sin(x+y)-1)^2 + 1] = 2
sin(x+y) = 1
sin(5/4 + y) = 1
5/4 + y = π/2 + 2πN N∈Z
y = π/2 - 5/4 + 2πN N∈Z
ответ (5/4. π/2 - 5/4 + 2πN N∈Z)
=====================================
ну много Вам вспоминать надо