Question

Найдите все значения параметра a, при которых для любого положительного значения b уравнение $log_2(1-x-x^2)=a*log_{(1-x-x^2)}2+b$ имеет хотя бы одно решение, принадлежащее интервалу (0; 1/2).

Answer 1

y = 1 - x - x^2 = 1 + 1/4 - (x^2 + x + 1/4) = 5/4 - (x + 1/2)^2

0 < x < 1/2 ----> 1/4 < y < 1

t = log2(y) ----> -2 < t < 0

logy(2) = 1/log2(y) = 1/t

t = a/t + b, b > 0

t^2 - bt - a = 0

Обозначим b = 2c, c > 0

Любое значение b <---> любое значение c

t^2 - 2ct - a = 0

t^2 - 2ct + c^2 - c^2 - a = 0

(t - c)^2 = c^2 + a

t - c = +- √(c^2 + a) // c^2 + a >= 0 для любого c > 0 ---> a >= 0

t = c +- √(с^2 + a)

с + √(с^2 + a) >= 0 - не интересует, т.к. нужно найти a, при которых -2 < t < 0

Рассмотрим c - √(с^2 + a) < 0 при любом a > 0

Осталось найти a, при которых

c - √(с^2 + a) > -2

c + 2 > √(с^2 + a) > 0

(c + 2)^2 > c^2 + a

c^2 + 4c + 4 > c^2 + a

4c + 4 > a, при любом c, причем c > 0 следовательно

4с + 4 > 4 >= a

0 < a <= 4

Answer 2

А в первых трех строках написано, что 0 < x < 1/2 эквивалентно 1/4 < y < 1 эквивалентно -2 < t < 0

Answer 3

Ну, вроде как разобрался, большое спасибо)

Answer 4

Можете ещё здесь постараться: https://znanija.com/task/29354586 :)

Answer 5

Привет! Отметь, пожалуйста, мое решение как неправильное. Мне за него стыдно.

Answer 6

Отметил( И смешно, и грустно :) :(