Question

Sinx+sin^2x+cos^3x=0

Answer 1

$sin x+sin^2x+cos^3x=0\ sin x+sin^2x+cos^2xcos x=0\ sin x(1+sin x)+(1-sin x)(1+sin x)cos x=0\ (1+sin x)(sin x+cos x-sin xcos x)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

$1+sin x=0\ sin x=-1\ x=-frac{pi}{2} +2pi k,k in mathbb{Z}$

$sin x+cos x-sin xcos x=0$

Пусть $sin x+cos x=t~~(|t|leq sqrt{2} )$, тогда возводим в квадрат обе части равенства, получим $1+2sin xcos x=t^2~~Rightarrow~~ sin xcos x=frac{t^2-1}{2}$

$t+frac{t^2-1}{2} =0\ t^2+2t-1=0\ D=b^2-4ac=2^2-4cdot1cdot(-1)=4+4=8\ \ t_1=dfrac{-2+2sqrt{2}}{2} =-1+sqrt{2} \ t_2=-1-sqrt{2} ~~notin~~|t|leq sqrt{2}$

обратная замена

$sin x+cos x=-1+sqrt{2} \ sqrt{2} sin (x+frac{pi}{4} )=-1+sqrt{2} \ \ sin (x+frac{pi}{4})=-frac{1}{sqrt{2}} +1\ \ x=(-1)^kcdotarcsin(1-frac{1}{sqrt{2}})-frac{pi}{4}+pi k,k in mathbb{Z}$