Question

$frac{|x^2+a(a-2x)+4|}{|x-a|}$≤6x-5-x^2, такие значения параметра а, при которых неравенство имеет хотя бы одно решение

Answer 1

В числителе дроби под модулем стоит сумма квадратов – положительная величина:
$x^2+a(a-2x)+4=(x^2-2ax+a^2)+4=(x-a)^2+4=|x-a|^2+2^2$

Значит, модуль в числителе можно опустить. Вычтем из обеих частей неравенства 4:
$dfrac{|x-a|^2+2^2}{|x-a|}-4leqslant6x-9-x^2\dfrac{|x-a|^2-2cdot2|x-a|+2^2}{|x-a|}leqslant-(x^2-6x+9)\dfrac{(|x-a|-2)^2}{|x-a|}leqslant-(x-3)^2\dfrac{(|x-a|-2)^2}{|x-a|}+(x-3)^2leqslant0$

В левой части неравенства стоит сумма двух неотрицательных величин. Чтобы сумма оказалась неположительной, каждое из этих слагаемых должно быть равно нулю:
$begin{cases}dfrac{(|x-a|-2)^2}{|x-a|}=0\(x-3)^2=0end{cases}Rightarrow begin{cases}|x-a|=2\x=3end{cases}Leftrightarrowbegin{cases}a=2pm3\x=3end{cases}$

Итак, a = -1 или a = 5. Легко проверить, что при таких a подстановка x = 3 удовлетворяет исходному неравенству.

Ответ: a = -1 или a = 5.

Answer 2

Как вы вообще увидели эту сумму квадратов? Спасибо большое

Answer 3

Красота!!!