Question

Помогите решить пример
sin^4(x)+cos^4(x)=3/4

Answer 1

sin⁴x + cos⁴x = 3/4

sin⁴x + 2sin²x*cos²x + cos⁴x - 2sin²x*cos²x = 3/4

(sin²x + cos²x)² - 2sin²xcos²x = 3/4

1 - 2sin²x*cos²x = 3/4

2sin²x*cos²x = 1 - 3/4

2sin²x*cos²x = 1/4

1/2 * (2sinx*cosx)² = 1/4

(2sinx*cosx)² = 1/2

sin²2x = 1/2

(1 - cos4x)/2 = 1/2

1 - cos4x = 1

cos4x = 0

4x = π/2 + πn, n ∈ Z

x = π/8 + πn/4, n ∈ Z

Ответ: π/8 + πn/4, n ∈ Z.

Answer 2

cos4x=0 ⇒ 4x=п/2+пn

Answer 3

Да, спасибо

Answer 4

$sin^4x+cos^4x=dfrac{3}{4}$

Для четвертых степеней есть готовые формулы

$sin^4x=dfrac{3-4cos2x+cos4x}{8} cos^4x=dfrac{3+4cos2x+cos4x}{8}$

При их использовании уравнение сводится к

$cos4x=0\ 4x=dfrac{pi}{2}+ pi k \ x=dfrac{pi}{8}+dfrac{pi k}{4}; k in Z$

Но обычно такие уравнения решают дополнением левой части до полного квадрата

$sin^4x+2sin^2xcos^2x+cos^4x=dfrac{3}{4}+2sin^2xcos^2x\ (sin^2x+cos^2x)^2=dfrac{3}{4}+2cdotdfrac{1-cos2x}{2}cdotdfrac{1+cos2x}{2} \ 1=dfrac{3}{4}+dfrac{1-cos^22x}{2}\ dfrac{1}{4}=dfrac{1-cos^22x}{2} \ 2cos^22x-2=-1\ 2cos^22x-1=0\ cos4x=0 \ x=dfrac{pi}{8}+dfrac{pi k}{4} ; k in Z$