Question

Найдите наибольшее значение функции

Answer 1

Найдем производную функции:

$y'=(16cos x-frac{102}{pi}x+41)'=16cdot(-sin x)- frac{102}{pi}+0=-16sin x-frac{102}{pi}$

Найдем стационарные точки, приравняв производную к 0:

$y'=0\\ -16sin x-frac{102}{pi}=0 \ \ -16sin x=frac{102}{pi}\ \ sin x=-frac{102}{16pi} \ \ sin x=-frac{51}{8pi}$

Уравнение не имеет корней, так как $-1leq sin xleq 1$, а $-frac{51}{8pi} <-1$

Значит, стационарных точек нет

Вычислим значения функции в концах отрезка:

$y(-frac{2pi}{3})=16cos (-frac{2pi}{3})-frac{102}{pi}cdot(-frac{2pi}{3})+41=16cos frac{2pi}{3}+68+41=\ \ =16cosfrac{3pi-pi}{3} +109=16cos(frac{3pi}{3}-frac{pi}{3})+109=16cos(pi-frac{pi}{3})+109=\ \ =16cdot(-cosfrac{pi}{3})+109=-16dotcosfrac{pi}{3}+109=-16cdotfrac{1}{2}+109=-8+109=\ \ =101\ \ y(0)=16cos0-frac{102}{pi}cdot0+41=16cdot1-0+41=16+41=57$

значит, $y_{max[-frac{2pi}{3};0]} =y(-frac{2pi}{3})=101$

Ответ: 101