Question

Найдите произведение всех значений параметра а , при которых уравнение имеет единственное решение.

варианты ответов:

а)9 б) 128 в) -36 г) -96 д) корень из 10

Answer 1

Умножаем обе части уравнения на $a(9-x^2)$

$a(6+a)(3-x)-a(6-a)(3+x)=6(3+x)(3-x)$

$6x^2-12ax+6a^2-54=0$

$x^2-2ax+a^2-9=0$

Произведение корней по теореме Виета:

$x_{1}*x_{2}=a^2-9=(a+3)(a-3)$

Корни: $x_{1}=a+3$, $x_{2}=a-3$

Также ОДЗ:

$xneq pm3, aneq 0$

Решим аналитически. Получилось 2 корня, а нужен 1. Значит какой-то корень должен "выпасть". Это когда 1 корень стал равен $pm3$

$x_{1}=3$: $a+3=3, a=0$ - не подходит

$x_{1}=-3$: $a+3=-3, a=-6$ - подходит

$x_{2}=3$: $a-3=3, a=6$ - подходит

$x_{2}=-3$: $a-3=-3, a=0$ - не подходит

$6*(-6)=-36$

Answer 2

Умножим на(3+x)(3-x)a :
18a + 3a²- 6ax - a²x - 18a + 3a²- 6ax + a²x = 54 - 6x² ;
x² - 2ax + a² - 9 = 0.
Уравнение будет иметь 1 решение, если дискриминант будет равен 0.
Д = 4а² - 4*(а² - 9) = 36.
Значит при любом значении а уравнение будет иметь 2 решения.