Question

Решите уравнение:
sin³x + cos³x = 1

Answer 1

Разложим в левой части уравнения по формуле суммы кубов

$tt (sin x+cos x)(sin^2x-sin xcos x+cos^2x)=1\ (sin x+cos x)(1-sin xcos x)=1$

Пусть $tt sin x+cos x=t$ и при этом $tt |t|leq sqrt{2}$, тогда, возведя в квадрат левую и правую части равенства $tt 1+2sin xcos x=t^2~~~Rightarrow~~~sin xcos x=frac{t^2-1}{2}$

$tt tcdotleft(1-frac{t^2-1}{2} right)=1~|cdot 2\ \ 2t-t^3+t=2\ 2t-2-t^3+t=0\ 2(t-1)-t(t-1)(t+1)=0\ (t-1)(2-t^2-t)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

$tt t-1=0~~~Rightarrow~~ t_1=1\ \ tt 2-t^2-t=0\ t^2+t-2=0$

По т. Виета: $tt t_1=1$

$tt t_2=-2$ - не удовлетворяет условию при |t|≤√2

Обратная замена:

$tt sin x+cos x=1\ sqrt{2}sin(x+frac{pi}{4} )=1\ sin(x+frac{pi}{4} )=frac{1}{sqrt{2}} \ x+frac{pi}{4} =(-1)^kcdot frac{pi}{4} +pi k,k in mathbb{Z}\ \boxed{tt x=(-1)^kcdotfrac{pi}{4} -frac{pi}{4} +pi k,k in mathbb{Z}}$

Answer 2

ошибка в решении!!!

Answer 3

sin(x+pi/4)=(sinx+cosx)/корень из 2-а не умноженное на корень

Answer 4

ну и ответ соответственно не тот тогда

Answer 5

извините-снимаю свои замечания, все верно в этом месте