Question

Решите неравенство:
$(3x - 7) cdot log_{5x - 11}(x^2 - 8x + 17) geq 0$

P.s.: ответ получился [11/5; 7/3] U (12/5; +∞), но не факт, что он правильный.

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Одз:

$left{begin{matrix}5x - 11 > 0\5x - 11 neq 1 \ {x}^{2} - 8x + 17 > 0 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix}x > frac{11}{5} \x neq frac{12}{5} \D < 0 end{matrix}right. Leftrightarrow x in ( frac{11}{5} ; frac{12}{5} ) cup ( frac{12}{5} ; + infty)$

Решение:

Чтобы избавиться от логарифма, воспользуемся методом рационализации (подробную инфу можно найти в инете)

$(3x - 7) log_{5x - 11}(x^2 - 8x + 17) geq 0 \ (3x - 7) [ log_{5x - 11}(x^2 - 8x + 17) - 0] geq 0 \ (3x - 7) [ log_{5x - 11}(x^2 - 8x + 17) - log_{5x - 11}1] geq 0 \ (3x - 7)(5x - 11 - 1)( {x}^{2} - 8x + 17 - 1) geq 0 \ (3x - 7)(5x - 12)( {x}^{2} - 8x + 16) geq 0 \ 3(x - frac{7}{3} ) times 5(x - frac{12}{5} ) times (x - 4) ^{2} geq 0$

Воспользуемся методом интервалов и определим знак каждого промежутка с помощью пробной точки:

$+ + + [ frac{7}{3} ] - - - [ frac{12}{5} ] + + + [4] + + + > _ x$

$x in ( - infty; frac{7}{3} ] : cup : [ frac{12}{5} ; + infty)$

С учетом ОДЗ получаем ответ:

$OTBET: x in (frac{11}{5} ; frac{7}{3} ] : cup : ( frac{12}{5} ; + infty)$