Question

Верно ли я решаю? Если нет, то как решать? Если да, то почему?

Answer 1

$frac{1}{x^2+8x-9} geq frac{1}{3x^2-5x+2}$

Разложим знаменатели на множители, для этого найдем корни уравнений (через дискриминант или по теореме Виета):

$1) x^2+8x-9=0 \ x_1=-9; x_2=1 \ \ x^2+8x-9=(x+9)(x-1)\ \ 2) 3x^2-5x+2=0 \ x_1=1; x_2=frac{2}{3} \ \ 3x^2-5x+2=3(x-1)(x-frac{2}{3} )=(x-1)(3x-2)$

Возвращаемся к исходному неравенству: переносим всё в левую часть и приводим к общему знаменателю:

$frac{1}{x^2+8x-9} geq frac{1}{3x^2-5x+2} \ \ frac{1}{x^2+8x-9}-frac{1}{3x^2-5x+2} geq 0\ \ frac{1}{(x-1)(x+9)} -frac{1}{(3x-2)(x-1)} geq 0\ \ frac{3x-2-(x+9)}{(x-1)(x+9)(3x-2)} geq 0\ \ frac{3x-2-x-9}{(x-1)(x+9)(3x-2)} geq 0\ \ frac{2x-11}{(x-1)(x+9)(3x-2)} geq 0$

Корень числителя:

$2x-11=0 \ x=frac{11}{2}=5.5$

Корни знаменателя:

$x=1 \x=-9 \ x=frac{2}{3}$

Пользуясь методом интервалов, находим решение неравенства:

с помощью пробной точки определяем знаки промежутков.

Корень числителя - "закрашенная" точка, так как неравенство нестрогое.

Корни знаменателя - "выколотые" точки, так как знаменатель не может равняться нулю!

Получаем:

$+++(-9)---(frac{2}{3} )+++(1)---[frac{11}{2}] +++>_x \ \ OTBET: x in (-infty; -9) cup (frac{2}{3};1) cup [frac{11}{2} ; +infty)$