Question

Помогите продолжить решение

Answer 1

sin⁴t=(sin²t)²=((1-cos2t)/2)²

cos⁴t=(cos²t)²=((1+cos2t)/2)²

sin⁴t+cos⁴t=((1-cos2t)/2)²+((1+cos2t)/2)²=(2+2cos²2t)/4=

16sin²tcos²t=16(sin2t/2)²=4sin²2t

$L=intlimits^frac{pi}{2}_0 {sqrt{2(1+(cos2t)^2)}}sin2t , dt =\ \= -frac{sqrt{2}}{2} intlimits^frac{pi}{2}_0 {sqrt{1+(cos2t)^2}} , d(cos2t) = -frac{sqrt{2}}{2}ln|cos2t+sqrt(1+cos^22t)|^frac{pi}{2}_0=\ \ -frac{sqrt{2}}{2}ln|cospi+sqrt(1+cos^2pi)|+frac{sqrt{2}}{2}ln|cos0+sqrt(1+cos^20)|=\ =-frac{sqrt{2}}{2}ln|-1+sqrt(2)| +frac{sqrt{2}}{2}ln|1+sqrt(2)|$

Answer 2

а как мы перешли к длинному логарифму ?

Answer 3

d(cos2t)=(-sin2t)*2dt=-2sin2tdt. получили табличный интеграл∫√(1+u²)du

Answer 4

но это же не табличный интеграл, нужна же дробь , чтобы длинный логарифм получился

Answer 5

Да, вы правы, поторопилась. Можно посчитать по частям, но есть и готовая формула. =u√(1+u²)/2 +(1/2)ln|u+√(1+u²)}