Шах разбил свой квадратный одноэтажный дворец на 64 одинаковые квадратные комнаты, разделил комнаты на семь квартир (проделав двери в некоторых перегородках между комнатами) и в каждой квартире поселил по жене. Жены могут ходить по всем комнатам своей квартиры, не заходя к другим. Какое наименьшее число дверей пришлось проделать во внутренних стенах?
Ответы
Попробовал разные расположения, и вот что получается- минимальное число дверей получается в вытянутой в одну линию квартире (такой коридор из комнат, возможно изгибающийся).
В такой квартире нужно сделать по одной двери в каждой комнате, чтобы попасть в следующую комнату, и только в последней комнате не надо делать, т.к. мы уже её соединили с предыдущей. Получается, для такой квартиры число дверей (Д) равно числу комнат (К) минус один:
Д(1) = К - 1 -число дверей для первой квартиры
А для семи таких квартир, число дверей будет на семь меньше числа комнат. А так как суммарное число комнат во всех квартирах равно 64, то число дверей будет равно:
Д(общ) = Д(1) + Д(2) + Д(3) + Д(4) + Д(5) + Д(6) + Д(7) =
= К(1) - 1 + К(2) - 1 + К(3) - 1 + К(4) - 1 + К(5) - 1 + К(6) - 1 + К(7) - 1 =
= ΣК - 7 = 64 - 7 = 57 дверей
Это и есть минимальное число дверей для данной задачи.
При этом, можно сделать шесть квартир по восемь комнат, а седьмую- 16 комнат (см.рис.1), или шесть квартир по одной комнате (см.рис.2), а седьмую- 58 комнат, всё равно общее число дверей будет равно 57.
Ответ: 57 дверей.
P.S. наружные двери не рисовал, т.к. о них в задаче не говорится.
