Question

Подробно решить неравенство:
$log_2(x-1)+log_2(x^2+frac{1}{x-1})leqslant 2log_2(frac{x^2+x-1}{2})$

Answer 1

Пусть $x^2=u, x-1=v$

$log_{2}v+log_{2}(u+frac{1}{v})leq 2log_{2}(frac{u+v}{2})$

$log_{2}(uv+1)leq log_{2}(frac{(u+v)^2}{4})$

$2>1$, следовательно в силу монотонности логарифма:

$uv+1leq frac{(u+v)^2}{4}$

$4uv+4leq (u+v)^2$

$u^2+2uv+v^2-4uvgeq 4$

$u^2-2uv+v^2geq 4$

$(u-v)^2geq 4$$(u-v)^2-2^2geq 0$

$(u-v+2)(u-v-2)geq 0$

Возвращаемся к замене $x^2=u, x-1=v$

$(x^2-x+3)(x^2-x-1)geq 0$

$x^2+x-1geq 0$

$xgeq frac{1+sqrt{5}}{2}$ или $xleqfrac{1-sqrt{5}}{2}$

Ограничения на логарифмы в переменных $u, v$:

$v>0; u+frac{1}{v}>0; u+v>0$

Отсюда отбрасываем решения, получая:

$xgeq frac{1+sqrt{5}}{2}$

Ответ: $xgeq frac{1+sqrt{5}}{2}$

Answer 2

что это за формула такая? (может вы не поняли, но я имею ввиду переход от (x^2-x+3)(x^2-x-1)>=0 к x^2+x-1>=0

Answer 3

ааа, первое уравнение не имеет корней, ветви вверх, значит всегда >0, делим на него

Answer 4

а почему x^2-x-1 превратилось в x^2+x-1? Опечатка?

Answer 5

да, вот где и ошибка, спасибо

Answer 6

И вам спасибо