Question

Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле. Сделать чертеж области интегрирования.

Answer 1

Область интегрирования ограничена линиями: x=0; x=1; y=-2x; y=√(4-x²)

Определим, что является графиком последней функции:

$y=sqrt{4-x^2} Leftrightarrow left{begin{matrix}ygeq 0 \y^2=4-x^2 end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix}ygeq 0 \x^2+y^2=4 end{matrix}right.$

Графиком является верхняя полуокружность с радиусом R=2

1) строим графики y=-2x; y=√(4-x²) (рис.1)

2) с учетом x=0 и x=1 получаем область интегрирования (заштрихованная область) (рис.2)

3) выражаем иксы через игреки и разбиваем исходный интеграл на 3 части (пользуясь рисунком 3)

ищем границы по игреку

зеленая область: от -2 до 0

синяя: от 0 до √3 (так как при х=1 получаем у=√(4-х²)=√(4-1)=√3)

красная: от √3 до 2

$y=sqrt{4-x^2} Rightarrow y^2=4-x^2Rightarrow x^2=4-y^2 Rightarrow x=sqrt{4-y^2}$

$y=-2x Rightarrow x=-frac{y}{2} Rightarrow x=-0.5y$

С полученными данными составляем окончательный ответ:

$intlimits^1_0 dxintlimits^{sqrt{4-x^2}}_{-2x} {f(x,y)} , dy =intlimits^{0}_{-2 }dyintlimits^{1}_{-0.5y} {f(x,y)} , dx +intlimits^{sqrt{3}}_{0 }dyintlimits^{1}_{0} {f(x,y)} , dx +\\ +intlimits^{2}_{sqrt{3} }dyintlimits^{sqrt{4-y^2}}_{0} {f(x,y)} , dx \ \ \ OTBET:\ intlimits^{0}_{-2 }dyintlimits^{1}_{-0.5y} {f(x,y)} , dx +intlimits^{sqrt{3}}_{0 }dyintlimits^{1}_{0} {f(x,y)} , dx +intlimits^{2}_{sqrt{3} }dyintlimits^{sqrt{4-y^2}}_{0} {f(x,y)} , dx$