Докажите, что угол BAC равен углу CAT. Всё что нам дано: рисунок, BC=AD/2, CT=TD. На рисунке используйте лишь расположение точек, т.е. на надо писать что трапеция ABCD равнобедренная, потому что она выглядит как равнобедренная, хотя она действительно равнобедренная, но это нужно доказать)
Ответы
1. Проведем среднюю линию трапеции ТМ, которая пересечет диагональ трапеции AC в точке Q. Рассмотрим треугольник АМТ. В нем сторона АМ=AB/2 = R/2 (так как МТ - средняя линия трапеции). Сторона АТ=R. Следовательно, АМ/АТ = (R/2)/R = 1/2.
МQ=BC/2 (так как MQ - средняя линия треугольника АВС).
QT=AD/2=BC/4 (средняя линия треугольника АСD. Тогда MQ/QT=(BC/2)/(BC/4)=1/2.
Отрезок AQ является биссектрисой угла АМТ по свойству биссектрисы: "биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам". В нашем случае: АМ/АТ=MQ/QT => AQ - биссектриса угла АМТ.
Следовательно, <BAC=<CAT, что и требовалось доказать.
2. Треугольники АВС и АСТ равны по двум сторонам и углу между ними (<BAC=<CAT - доказано выше, АВ=АТ - радиусы, АМ - общая). => ВС=СТ. => CD=AD (так как CD и AD равны 2*ВС). АВ=AD как радиусы. => AB=CD, то есть трапеция ABCD равнобедренная, что и требовалось доказать.
При этом QBCT-параллелограмм, т.к. стороны параллельны. Запомним при этом, что QC принадлежит AC. QC и BT - диагонали параллелограмма, которые пересекаются в их серединах. При этом точка P перпендикуляра, проведенного к хорде из точки А, совпадает с точкой пересечения диагоналей параллелограмма, т.к. P - середина BT (легко доказывается),
следовательно P лежит и на QC.
Отсюда следует, что если AP перпендикулярен BT, то и QC перпендикулярен BT. Следовательно QBCT-ромб => BQ=QT.
Получается, что треугольники BAC и TAC равны по трём сторонам => равны углы BAC и CAT
Проведём в треугольнике ACD среднюю линию. Она пересечёт AC в точке Q (запомним, что QC принадлежит AC). При этом QT || AD, и следовательно QT || BC. Видим, что QT=AD/2. Сторона BС также равна AD/2, следовательно BС=QT. Т.к. BС=QT и BС || QT, то BCTQ-параллелограмм. Получается, что точка Q является как вершиной параллелограмма, как и точкой на отрезке AC.
Проведём к хорде BT медиану AP. При этом треугольники ABP и ATP будут равны по 3-м сторонам, т.к. AB=AT, BP=PT, AP - общая. Следовательно, углы APB и APT в этих треугольниках равны, а т.к. эти углы смежные, то они равны 90 градусов. Получается, что AP является перпендикуляром к хорде.
QC и BT - диагонали параллелограмма, которые пересекаются в их серединах, но т.к. AP - медиана => P - середина BT, то точка P принадлежит также QC, а т.к. QC принадлежит AC (см. ранее), то и P принадлежит AC, т.е. точки Q и P лежат на AC.
Точки A и P лежат, как на AP, так и на AC, следовательно AP и AC лежат на одной прямой.
Т.к. AP перпендикулярен BT, то и QC перпендикулярен BT. Диагонали QC и BT параллелограмма QBCT перпендикулярны, следовательно QBCT является ромбом => BQ=BC=CT=QT.
Треугольники BAQ и TAQ равны по трём сторонам. У них AB=AT, BQ=QT, AQ-общая => равны углы BAQ и TAQ => равны углы BAC и TAC
