Question

integral 1+sinx/(1+cosx+sinx). помогите

Answer 1

Здесь надо воспользоваться универсальной тригонометрической подстановкой:

$intlimits {frac{1+sinx}{1+cosx+sinx}} , dx =begin{vmatrix}tgfrac{x}{2}=t; sinx=frac{2t}{1+t^2}\ \ cosx=frac{1-t^2}{1+t^2}; dx=frac{2dt} {1+t^2}end{vmatrix}=intlimits {frac{1+frac{2t}{1+t^2}}{1+frac{1-t^2}{1+t^2}+frac{2t}{1+t^2}}} *frac{2dt} {1+t^2} = \\ \ =2intlimits {frac{1+frac{2t} {1+t^2}}{1+t^2+1-t^2+2t}} , dt= 2intlimits {frac{frac{1+t^2+2t} {1+t^2}}{2+2t}} , dt= 2intlimits {frac{t^2+2t+1}{2(t+1)(t^2+1)}} , dx =$

$intlimits {frac{(t+1)^2}{(t+1)(t^2+1)}} dt = intlimits {frac{t+1}{t^2+1}} dt =intlimits {frac{t}{t^2+1}} dt +intlimits {frac{1}{t^2+1}} dt =frac{1}{2}intlimits {frac{1}{t^2+1}} d(t^2+1) + \ \ +arctgt+C=frac{1}{2} ln |t^2+1|+arctgt+C =begin{vmatrix}t=tgfrac{x}{2} end{vmatrix}=\ \ = frac{1}{2} ln |tg^2(frac{x}{2})+1|+frac{x}{2} +C$

Можно так ответ и оставить, а можно еще немного упростить:

$frac{1}{2} ln |tg^2(frac{x}{2})+1|+frac{x}{2} +C = frac{1}{2} ln |frac{1}{cos^2(frac{x}{2})}|+frac{x}{2} +C =\ \ =frac{1}{2} ln |cos^{-2}(frac{x}{2})|+frac{x}{2} +C =frac{x}{2} - ln|cosfrac{x}{2} |+C\ \ OTBET: frac{x}{2} - ln|cosfrac{x}{2} |+C$