Question

Решите логарифмическое уравнение :
lg(x^2+1)-lg(x-2)=1
Решите показательное уравнение :
5^х + 125/5^х =30

Answer 1

1)
$lg( {x}^{2} + 1) - lg(x - 2) = 1 \ lg( {x}^{2} + 1) = 1 + lg(x - 2) \ lg( {x}^{2} + 1) = lg10 + lg(x - 2) \ lg( {x}^{2} + 1) = lg(10(x - 2)) \ {x}^{2} + 1 = 10(x - 2) \ {x}^{2} + 1 = 10x - 20 \ {x}^{2} - 10 + 21 = 0 \ d = {b}^{2} - 4ac = 100 - 4 times 21 = 100 - 84 = 16 \ x1 = frac{10 + 4}{2} = frac{14}{2} = 7 \ x2 = frac{10 - 4}{2} = frac{6}{2} = 3$
ОДЗ:
x^2 + 1 > 0, x^2 > -1 => x € R
x - 2 > 0, x > 2
Оба корня удовл.ОДЗ., значит, являются корнями уравнения.

Ответ: 3; 7.

2)
${5}^{x} + frac{125}{ {5}^{x} } = 30 \ {5}^{x} = t. : : : : t > 0 \ t + frac{125}{t} = 30 \ {t}^{2} - 30t + 125 = 0 \ d = {b}^{2} - 4ac = 900 - 4 times 125 = 400 \ t1 = frac{30 + 20}{2} = frac{50}{2} = 25 \ t2 = frac{30 - 20}{2} = frac{10}{2} = 5 \ \ {5}^{x} = 25 \ x = 2 \ \ {5}^{x} = 5 \ x = 1$
Ответ: 1; 2.