Question

Укажите наименьшее значение функции f(x)=sin2x+2cosx на отрезке [π/2;π] .У меня получается -2. Но это ведь не правильно?

Answer 1

f(x)=sin(2x)+2*cosx [π/2;π].

f`(x)=2*cos(2x)-2*sinx=0

2*(cos²x-sin²x)=2*sinx |÷2

1-sin²x-sin²x=sinx

2*sin²x+sinx-1=0

Пусть sinx=t ⇒

2t²+t-1=0 D=9 √D=3

t₁=-1 ⇒ sinx=-1 x₁=3π/2 ∉[π/2;π]

t₂=1/2 ⇒ sinx=1/2 x₂=π/6 ∉[π*2;π] x₃=5π/6 ∈[π/2;π].

f(π/2)=sin(2*π/2)+2*cos(π/2)=sin(π)+2*0=0.

f(π)=sin(2π)+2*cosπ=0+2*(-1)=-2.

f(5π/6)=sin(2*5π/6)+2*cos(5π/6)=sin(5π/3)+2*(-√3/2)=-√3/2-√3=-3*√3/2=-1,5*√3.

Ответ: наименьшее значение функции на интервале [π/2;π] =-1,5*√3 (≈-2,6).