Question

Решить уравнение :
Объясните, если вам не трудно
|x+1|-|x-2|+|3x+6|=5

Answer 1

подробное решение
в конце страницы написан ответ

Answer 2

постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля, поэтому уравнение примет вид:

|x+1|-|x-2|+3|x+2|=5

Универсальный метод решения уравнений с модулями - метод интервалов (метод расщепления)

Найдем нули подмодульных выражений:

x+1=0 => x=-1

x-2=0 => x=2

x+2=0 => x=-2

Составим небольшую таблицу, по которой определим знак каждого промежутка с помощью пробной точки (см. рисунок)

Если в промежутке стоит +, то модуль просто опускается, если же -, то знаки под модулем меняются на противоположные

1 случай)

$left{begin{matrix} x<-2\-(x+1)+(x-2)-3(x+2)=5 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} x<-2\-x-1+x-2-3x-6=5 end{matrix}right. \ \\ Leftrightarrow left{begin{matrix} x<-2\-3x=14 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} x<-2\x=-frac{14}{3} end{matrix}right. Leftrightarrow x=-frac{14}{3}$

2 случай)

$left{begin{matrix} -2leq x<-1\-(x+1)+(x-2)+3(x+2)=5 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} -2leq x<-1\-x-1+x-2+3x+6=5 end{matrix}right. \ \ \Leftrightarrow left{begin{matrix} -2leq x<-1\3x=2 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} -2leq x<-1\x=frac{2}{3} end{matrix}right. Leftrightarrow x in O$

3 случай)

$left{begin{matrix} -1leq x<2\(x+1)+(x-2)+3(x+2)=5 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} -2leq x<-1\x+1+x-2+3x+6=5 end{matrix}right. Leftrightarrow \ \ \ Leftrightarrow left{begin{matrix} -2leq x<-1\5x=0 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} -2leq x<-1\x=0 end{matrix}right. Leftrightarrow x=0$

4 случай)

$left{begin{matrix} x geq 2\(x+1)-(x-2)+3(x+2)=5 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} x geq 2\x+1-x+2+3x+6=5 end{matrix}right. Leftrightarrow \ \ \ Leftrightarrow left{begin{matrix} x geq 2\3x= -4end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} x geq 2\x= -frac{4}{3}end{matrix}right. Leftrightarrow x in O \ \ \ OTBET: -frac{14}{3}; 0$