Question

Помогите, пожалуйста, решить системы уравнений! Никак не могу разобраться с таким типом заданий...

Answer 1

Заметим, что (х+у)² = х²+2ху+у². Отсюда х²+у² = (х+у)²-2ху. Исходная система примет вид:

$begin {cases} (x+y)^2-2xy+5(x+y)+3xy=15 \ (x+y)^2-2xy-(x+y)+xy=1 end {cases} Leftrightarrow begin {cases} (x+y)^2+5(x+y)+xy=15 \ (x+y)^2-(x+y)-xy=1 end {cases}\ a=x+y, b=xy\ Rightarrow begin {cases} a^2+5a+b=15 \ a^2-a-b=1 end {cases} Leftrightarrow begin {cases} 2a^2+4a=16 \ b=a^2-a-1 end {cases} Leftrightarrow begin {cases} a^2+2a-8 = 0\ b=a^2-a-1 end {cases} \ Rightarrow begin {cases} a_1=-4; a_2=2 \ b=a^2-a-1 end {cases}$

$begin {cases} a_1=-4 \ b_1=19 end {cases} begin {cases} a_2=2 \ b_2=1 end {cases}$

$1) begin {cases} x+y=-4 \ xy=19 end {cases} Leftrightarrow begin {cases} x=-y-4 \ (-y-4)y=19 end {cases} Leftrightarrow begin {cases} x=-y-4 \ y^2+4y+19=0 end {cases}\ y^2+4y+19=0\ D=16-76=-60<0$

система решений не имеет

$2) begin {cases} x+y=2 \ xy=1 end {cases} Leftrightarrow begin {cases} x=2-y \ (2-y)y=1 end {cases} Leftrightarrow begin {cases} x=2-y \ y^2-2y+1=0 end {cases} Leftrightarrow \ begin {cases} x=2-y \ (y-1)^2=0 end {cases} Rightarrow begin {cases} y=1 \ x=1 end {cases}$

Ответ: (1; 1).