Question

Найти все значения параметра k, при которых действительные корни x1,2 уравнения 2x²+(2+k)x-9=0 удовлетворяет соотношению (x1+x2)x1x2=27/8*k.

Answer 1

Дискриминант квадратного уравнения:

$tt D=(2+k)^2-4cdot2cdot (-9)=4+4k+k^2+72=k^2+4k+76$

Квадратное уравнение имеет два действительных корня, если D>0

$tt k^2+4k+76>0\ (k+2)^2+72>0$

Последнее неравенство выполняется для всех k.

По теореме Виета: $tt x_1+x_2=-dfrac{2+k}{2} \ x_1cdot x_2=-4.5$

Подставим теперь в соотношение и решим уравнение

$tt bigg(-dfrac{2+k}{2} bigg)cdot(-4.5)=dfrac{27}{8}k~~~bigg|cdot8\ \ 18(2+k)=27k~~|:9\ \ 2(2+k)=3k\ \ 4+2k=3k\ \ k=4$