Question

Найдите мумму наибольшего и наименьшего значений функции y=5√2×sin(x/5)-5√2×cos(x/5)-25.

Answer 1

Применим формулу дополнительного угла:

$tt asin(kx)pm bcos(kx)=sqrt{a^2+b^2}sin(kxpm arcsinfrac{b}{sqrt{a^2+b^2}})$

В нашем случае: k=1/5; a=b=1(если вынести за скобки 5√2), получим

$tt y=5 sqrt{2}cdot sqrt{1^2+1^2}sin(frac{x}{5}-arcsinfrac{1}{sqrt{1^2+1^2}})-25=10sin(frac{x}{5}-frac{pi}{4})-25$

Область значение функции $tt y=sin(frac{x}{5}-frac{pi}{4})$ есть промежуток [-1;1]. Осталось теперь оценить функцию с помощью двойного неравенства.

$tt -1leq sin(frac{x}{5}-frac{pi}{4})leq 1~~|cdot10\ \ -10leq 10sin(frac{x}{5}-frac{pi}{4})leq 10~~~|-25\ \ -35leq10sin(frac{x}{5}-frac{pi}{4})-25leq-15$

Множество значений исходной функции: E(y) = [-35; -15]. Где у=-35 принимает наибольшее значение, а y=-15 - наименьшего. Сумма наибольшего и наименьшего значений функции: -35+(-15) = -50.

Ответ: -50.