Question

Четырёх угольник АВСД вписан в окружность радиуса 8. Известно АВ=ВС=СД=12. Доказать. Что ВС и АД параллельны. Найти АД. Указание. Возможно понадобится найти синус 3х. Его можно найти через сумму синусов х и 2х.

Answer 1

1) Т.к. углы CDB и CAB опираются на одну и ту же дугу, то они равны. Тогда треугольники DCB и ABC равны по стороне и 2-м углам(AC общая, а углы CDB=DBC=CAB=BAC т.к. треугольники DCB и ABC равнобедренные и углы CDB=CAB см. выше). Треугольники DCA и ABD равны по тому же принципу. В итоге треугольники CTB и DTA равнобедренные, а т.к. углы CTB и DTA вертикальные, то углы TDA и TBC равны, а это признак параллельности прямых, тогда CB || AD.

2) Пусть ACB=α. По формуле радиуса описанной окружности $8=frac{12}{2sinalpha}$, тогда $sinalpha=frac{3}{4}$. Угол DCA=180-3α. По теореме синусов имеем $frac{12}{sinalpha}=frac{DA}{sin(180-3alpha)}=frac{DA}{sin3alpha}=frac{DA}{sin2alpha+sinalpha}=frac{DA}{2sinalpha cosalpha+sinalpha}=frac{DA}{2sinalpha sqrt{1-sin^2alpha}+sinalpha}.$. Теперь подставляем значение sinα=3/4 и вычисляем. У меня получилось $3sqrt{7}+12$

Answer 2

Забыл рисунок прикрепить, вот он https://ibb.co/e9UOUe