Question

Помогите, пожалуйста, решить номер 12.37 ❤

Answer 1

Решение обыкновенное:

$sqrt[7]{frac{5-x}{x+3}}+ sqrt[7]{frac{x+3}{5-x}}=2$

$sqrt[7]{frac{5-x}{x+3}}+frac{1}{sqrt[7]{frac{5-x}{x+3}}}=2$

$frac{(sqrt[7]{frac{5-x}{x+3}})^2+1}{sqrt{7}{frac{5-x}{x+3}}}=2$

$frac{(sqrt[7]{frac{5-x}{x+3}})^2-2(sqrt{7}{frac{5-x}{x+3}})+1}{sqrt{7}{frac{5-x}{x+3}}}=0$

$frac{(sqrt[7]{frac{5-x}{x+3}}-1)^2}{sqrt{7}{frac{5-x}{x+3}}}=0$

$sqrt[7]{frac{5-x}{x+3}}=1$

$frac{5-x}{x+3}=1$

$5-x=x+3$

$2x=2$

$x=1$

Решение "по-умному":

$sqrt[7]{frac{5-x}{x+3}}=y$

Тогда уравнение можно переписать в виде:

$y+frac{1}{y}=2$

Используя неравенство Коши:

$y+frac{1}{y}geq 2$

причём равенство достигается, если $y=frac{1}{y}; y=1$ и y -положительное (так и есть)

$sqrt[7]{frac{5-x}{x+3}}=1$ и так далее

P.S. я решил бы конечно 2 способом, это очевидно, но кому как, поэтому привёл решение "в лоб" тоже.