Question

Решить уравнение
$(sqrt{2+sqrt{3}})^x + (sqrt{2-sqrt{3}})^x=4$

Answer 1

$(sqrt{2+sqrt{3}})^x+(sqrt{2-sqrt{3}})^x=4 |*(sqrt{2-sqrt{3}})^x\1 + (sqrt{2-sqrt{3}})^{2x} =4(sqrt{2-sqrt{3}})^x\(sqrt{2-sqrt{3}})^x=t (t>0)\t^2-4t+1=0\D/4=4-1=3\t_1=2+sqrt{3} \ t_2 = 2-sqrt{3}\ \ (sqrt{2-sqrt{3}})^x=t \ \ 1) (sqrt{2-sqrt{3}})^x = 2+sqrt{3} |* (sqrt{2+sqrt{3}})^x\ 1 = (sqrt{2+sqrt{3}})^{x+2}\x+2=0\x=-2\\2) (sqrt{2-sqrt{3}})^x= 2-sqrt{3}\x=2$

Ответ: ±2

Answer 2

$tt left(sqrt{2+sqrt{3}}right)^x+left(sqrt{2-sqrt{3}}right)^x=4$

$tt left(dfrac{1}{sqrt{2-sqrt{3}}}right)^x+left(sqrt{2-sqrt{3}}right)^x=4\ \ dfrac{1}{left(sqrt{2-sqrt{3}}right)^x}+left(sqrt{2-sqrt{3}}right)^x=4$

Пусть $tt left(sqrt{2-sqrt{3}}right)^x=t$, тогда получим

$tt dfrac{1}{t}+t=4~~~bigg|cdot tne 0\ \ t^2-4t+1=0\ t^2-4t+4-3=0\ (t-2)^2=3\ \ t=2pmsqrt{3}$

Возвращаемся к обратной замене

$tt left(sqrt{2-sqrt{3}}right)^x=2-sqrt{3}\ \ left(2-sqrt{3}right)^{0.5x}=2-sqrt{3}\ \ 0.5x=1\ x=2$

$tt left(sqrt{2-sqrt{3}}right)^x=2+sqrt{3}\ \ left(2-sqrt{3}right)^{0.5x}=(2-sqrt{3})^{-1}\ \ 0.5x=-1\ x=-2$

Ответ: ±2.