Question

Сколько членов арифметической прогрессии нужно вписать между числами 1 и 31, чтобы сумма этих членов была вчетверо больше суммы двух наибольших из них?

Answer 1

Дано: $tt a_1=1; a_n=31$

Решение:

1. Формула n-го члена арифметической прогрессии: $tt a_n=a_1+d(n-1)$, отсюда разность прогрессии:

$displaystyle tt 1+d(n-1)=31 \ d(n-1)=31-1\d(n-1)=30\d=frac{30}{n-1}$

2. Сумма двух наибольших неизвестных членов:

$displaystyle tt a_{n-1}+a_{n-2}=a_n-d+a_n-2d=2a_n-3d=2cdot31-3bigg(frac{30}{n-1}bigg)=\\=62-frac{90}{n-1}$

3. Сумма всех неизвестных членов:

$displaystyle tt S_{n-2}=frac{a_1+d+a_n-d}{2}cdot (n-2)= frac{a_1+a_n}{2}cdot (n-2)=\\\= frac{1+31}{2}cdot (n-2)= frac{32}{2}cdot (n-2)= 16(n-2)$

4. По условию сумма всех неизвестных членов вчетверо больше суммы двух наибольших из них, тогда:

$displaystyle tt 62-frac{90}{n-1}=frac{16(n-2)}{4} \\ 62-frac{90}{n-1}=4(n-2); nneq 1\\ 62-frac{90}{n-1}=4n-8 \\ 62(n-1)-90=(4n-8)(n-1)\\ 62n-62-90=4n^2-4n-8n+8\\ 4n^2-74n+160=0 |:2 \\ 2n^2-37n+80=0 \\D=1369-640=729=27^2$

$displaystyle tt n_1=frac{37-27}{4}=2.5$      не удовлетворяет условию

$displaystyle tt n_2=frac{37+27}{4}=16$

В данной арифметической прогрессии всего 16 членов, значит, между числами 1 и 31 нужно вписать 16 - 2 = 14 членов.

Ответ: 14.

Answer 2

Пусть мы вписали (n-2) числа
между 1 и 31,
тогда
Имеем арифметическую прогрессию
1, 1+d, 1+2d,...1+(n-2)d, 31
a¹=1
a²=1+d
a³=1+2d
...
аⁿ-²=1+(n-3)d
aⁿ-¹=1+(n-2)d
aⁿ=31
d- разность прогрессии

сумма вписанных членов прогрессии будет равна
сумме прогрессии
от 1 до 31
минус сами числа 1 и 31:

S(a²....aⁿ-¹)=S(1 ...31)-1-31=
=½(1+31)n-32=16n-32=
=16(n-2)

сумма наибольших вставленных
между 1 и 31 членов прогрессии будет равна:
1+(n-2)d +1+(n-3)d=
=2+(2n-5)d
по условию
16(n-2)=4(2+(2n-5)d)
4(n-2)=2+(2n-5)d
4n-10=(2n-5)d
d=2
...
замечаем,что
aⁿ-¹=aⁿ-d
1+(n-2)d==31-d
(n-1)d=30
n-1=30/d
n=16

А вставили мы (n-2)=14 чисел

То есть между 1 и 31 вставлены числа:
3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27 и 29
Всего этих чисел 14

Ответ: 14 чисел

Answer 3

да. и, кстати, я подумал ещё вот над чем... а что если 1 и 31 не образуют с данными числами между ними прогрессию, ведь об этом не говорится в условии?

Answer 4

При таком раскладе, как связать числа 1 и 31 с прогрессией? Не вижу, как тогда можно решить задачу))

Answer 5

Согласен! И сейчас исправлю решение

Answer 6

Спасибо)

Answer 7

даже удалось избежать квадратных уравнений!;)