Question

Помогите пожалуйста.
Найти область изменения функций(E(f))

Answer 1

1) $f(x) = dfrac{3}{sqrt{36-x^2}};~~~~xin [-1; sqrt{11}]$

ОДЗ : 36 - x² > 0;   (6 - x)(6 + x) > 0

Метод интервалов : x₁ = -6; x₂ = 6

------------ (-6) +++++++++++ (6) -------------> x

ОДЗ : x ∈ (-6; 6)

Заданный в условии интервал  [-1; √11] ⊂ (-6; 6) - входит в ОДЗ.

В знаменателе под корнем стоит квадратичная функция y=36-x², графиком которой является парабола с ветками, направленными вниз. Значит, наибольшее значение функция y=36-x² принимает в точке вершины  

x₀ = -b/2a = -0/(-2)=0;    x₀ ∈ [-1; √11]

У дроби чем больше знаменатель, тем меньше ее значение. Значит, в точке x₀=0  функция f(x) будет иметь наименьшее значение. Осталось найти значение функции в точке x₀ = 0 и проверить границы интервала   [-1; √11]

$f(0) = dfrac{3}{sqrt{36-0^2}}=dfrac{3}{6}=0,5\ \ \ f(-1) = dfrac{3}{sqrt{36-(-1)^2}}=dfrac{3}{sqrt{35}}approx 0,507\\ \f(sqrt{11}) = dfrac{3}{sqrt{36-(sqrt{11})^2}}=dfrac{3}{5}=0,6$

E(f) = [0,5; 0,6],  x∈[-1; √11]

=================================================

2)

$f(x)=x^2-8x+16+dfrac{1}{x^2-8x+17}\ \ boldsymbol{f(x)=(x-4)^2+dfrac{1}{(x-4)^2+1}}}$

В знаменателе дроби - сумма двух положительных чисел всегда больше нуля. Дробь будет иметь наибольшее значение, когда в знаменателе наименьшее значение.

При x=4  ⇒  $dfrac{1}{(x-4)^2+1}=1$ - наибольшее значение дроби

$0<dfrac{1}{(x-4)^2+1}leq 1$

График функции y = (x - 4)²  - парабола, ветви направлены вверх. Минимальное значение принимает в точке вершины x₀ = 4. Сверху не ограничена.

$f(4)=(4-4)^2+dfrac{1}{(4-4)^2+1}=1$

E(f) = [1; +∞)