Question

докажите на простом примере существование ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ чисел

Answer 1

Число пи 3,141592....

Answer 2

а вы можете это доказать ?

Answer 3

иррациональные цисла - действительные не являющиеся рациональными...

доказать существование - достаточно привести пример.

Пример иррационального числа $sqrt{2}$

понятно, что оно действительное (величина длины диагонали квадрата со стороной 1, например), покажем, что оно не является рациональным, то есть не существует дроби х/у=√2, где х - целое, у - натуральное

Предположим обратное, то есть такие х и у существуют, тогда

$sqrt{2} =frac{x}{y} ; |*sqrt{2} \sqrt{2}*sqrt{2}=frac{x^{2}}{y^{2}} ;\2*y^{2}=x^{2};$

(самое сложное)

разложив на множители х и у получим:

слева в равенстве число 2 в нечетной степени (действительно один раз уже есть, и могут быть от у*у, но только в четных степенях, а один плюс четное - нечетно)

справа 2 если и есть то только в четной степени.

а 2 в нечетной степени не может быть равно 2 в четной

получили противоречие

Значит представления √2 в виде дроби не существует.

Таким образом число √2 - иррационально

P.S. использовано (два натуральных числа равны ⇔совпадают все степени простых сомножителей)

Answer 4

еще один пример : любое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической дроби : 2=2,(0) , 1/3=0,(3) и тд, но у числа 0,1011011101111011111......периода нет , значит оно иррационально

Answer 5

спасибо большое,все очень даже просто и понятно,но можете сказать по какому свойству вы вынесли y^2 из под знака дроби и она не сменила знак при переносе в другую часть уравнения?

Answer 6

и вы говорите про двойки в степенях я правильно понял?

Answer 7

просто умножил на у^2... каждое число представимо в виде произведения простых чисел (каждое простое в своей степени) , например 84=2^2 * 3^1 * 5^0 * 7^1 то есть число 84 можно представить как набор {2;1;0;1} вот о первых числах этих наборов и идет речь (слева нечетное число, справа четное)