Question

Доказать методом математической индукции. Срочно, пожалуйста!

Answer 1

1. База индукции: n = 2.

$frac{1}{1^2}+frac{1}{2^2}leq2-frac{1}{2}\1.25leq1.5$

Верно.

2. Пусть n = k. Предположим, что для этого n неравенство выполняется.

3. Пусть n = k + 1. Тогда

$sum_{i=1}^{k+1}frac{1}{i^2}leq2-frac{1}{k+1}\sum_{i=1}^{k}frac{1}{i^2}+frac{1}{(k+1)^2}leq2-frac{1}{k+1}\2-frac{1}{k}+frac{1}{(k+1)^2}leq2-frac{1}{k+1}\frac{1}{(k+1)^2}+frac{1}{k+1}-frac{1}{k}leq0\frac{k+k^2+k-k^2-2k-1}{k(k+1)^2}leq0\frac{-1}{k(k+1)^2}leq0\frac{1}{k(k+1)^2}geq0\k(k+1)^2>0\k>0$

Отсюда следует, что неравенство справедливо для всех натуральных k, а значит, и для всех натуральных n (пункт 2).