Question

Нужно найти все системы счисления в которых 350 пишется тремя знаками

Answer 1

Максимальное трёхзначное число, которое может быть записано в системе счисления с основанием n — X(n) = (n-1)*n² + (n-1)*n + (n-1) = n³ - n² + n² - n + n - 1 = n³ -1. X(10) = 1000 - 1 = 999.

Минимальное трёхзначное число, которое может быть записано в системе счисления с основанием n — M(n) = n², очевидно. M(10) = 100.

Значит, нужно решить систему:

$left { {{350 leq n^3 - 1} atop {350 geq n^2}} right.\\ ( n in mathbb{Z} ) \ \ left { {{351 leqn^3} atop {350 geq n^2}} right.\ \ n in [sqrt[3]{351};sqrt{350}] \ \ n in [7.05...;18.7...]$

Значит, $n in {x in mathbb{Z} | (x geq 8) land (x leq 18)}$.

Проверяем:

$350_{10} = 536_{8} = 118_{18} \ \ 350_{10} = 1010_{7} = I8_{19}$