Question

найти производную функции Y= X^2 E^2/ X^2+3 (икс в квадрате , е в квадрате разделить на икс в квадрате плюс три)

Answer 1

$y=dfrac{x^2e^2}{x^2+3}$

Найти производную можно парой способов:

1) По-честному:

Использовать формулу производной частного двух функций, т.е. если$f(x)=dfrac{g(x)}{h(x)}$, то $f'(x)=dfrac{g'(x)cdot h(x)-h'(x)cdot g(x)}{h^2(x)}$

$medskip \ y'=e^2left(dfrac{x^2}{x^2+3}right)'=e^2left(dfrac{(x^2)'(x^2+3)-x^2(x^2+3)'}{(x^2+3)^2}right)=medskip\=e^2left(dfrac{2x(x^2+3)-2x^3}{(x^2+3)^2}right)=e^2left(dfrac{2x^3+6x-2x^3}{(x^2+3)^2}right)=dfrac{e^{2}6x}{(x^2+3)^2}$

2) Немного схитрим:

Можно просто поделить столбиком, но воспользуемся заменой переменной

$e^2left(dfrac{x^2}{x^2+3}right) medskip \ x^2+3=varphi Rightarrow x^2=varphi-3 medskip \ e^2left(dfrac{varphi -3}{varphi}right)=e^2left(1-dfrac{3}{varphi}right) medskip \ y=e^2left(1-dfrac{3}{x^2+3}right) medskip \ y'=e^2left[0-left(dfrac{3}{x^2+3}right)'right]=-e^2cdotleft[3left((x^2+3)^{-1}right)'right]=medskip\=-3e^2cdot(-1)(x^2+3)^{-2}cdot 2x=6xe^2(x^2+3)^{-2}=dfrac{6xe^2}{(x^2+3)^2}$

Как видим результаты получились одинаковые