Question

50 баллов

Найти первые пять (ненулевых) членов разложения в степенной ряд решения ДУ с заданными начальными условиями.
y''-2xy'+2y=0 y(0)=-1 y'(0)=2
Очень нуждаюсь в Вашей помощи. Заранее спасибо.

Answer 1

$y''-2xy'+2y=0; ,; ; y(0)=-1; ,; ; y'(0)=2$

Ищем решение в виде ряда Маклорена:

$y(x)=y(0)+y'(0)cdot x+frac{y''(0)}{2!}cdot x^2+frac{y'''(0)}{3!}cdot x^3+frac{y^{1V}(0)}{4!}cdot x^4+...\\y''(x)=2xy'-2y; to ; y''(0)=2cdot 0cdot y'(0)-2cdot y(0)=0-2cdot (-1)=2\\y'''(x)=2cdot y'+2xcdot y''-2y'=2xy''; to ; y'''(0)=2cdot 0cdot y'(0)=0\\y^{1V}(x)=2y''+2xy'''; to ; y^{1V}(0)=2y''(0)+2xy'''(0)=2cdot 2+2cdot 0cdot 0=4\\y^{V}(x)=2y'''+2y'''+2xy^{1V}=4y'''+2xy^{1V}; to ; y^{V}(0)=4cdot 0+2cdot 0cdot 4=0\\y^{V1}(x)=4y^{1V}+2y^{1V}+2xy^{V}; to ; y^{V1}(0)=6cdot 4+2cdot 0cdot 0=24$

Запишем ряд Маклорена:

$y=-1+2x+frac{2}{2!}cdot x^2+frac{4}{4!}cdot x^4+frac{24}{6!}cdot x^6+...\\y=-1+2x+x^2+frac{1}{6}x^4+frac{1}{30}x^6+...$